Основным исходным уравнением безмоментной теории для расчета на прочность осесимметричных оболочек вращения, нагруженных внутренним избыточным давлением, является уравнение Лапласа. Для его нахождения рассмотрим равновесие выделенного элемента "Э” под действием равномерно распределенного внутреннего давления. Приложим внешние нагрузки и покажем внутренние силовые факторы, как изображено на рисунке 3.1.12.

Рисунок 3.1.12 – Выделенный элемент оболочки, находящийся в

равновесии под действием равномерно распределенного давления

Рассмотрим условие равновесия всех сил на ось Y. Для наглядности рассмотрим этот элемент с двух видов (рисунок 3.1.12).

Сумма всех сил, действующих вдоль оси Y, равна нулю, т.е.

Рисунок 3.1.12 – Элемент оболочки. Вид сверху

Как было сказано ранее на элемент действуют напряжение s_m на гранях АС и ВD, а напряжение s_t на гранях АВ и СD. Кроме того, внешние силы, нормальная составляющая которых, относится к единице площади, есть Р (внутреннее давление).

Составим уравнение равновесия в проекциях на нормаль (ось у), проведенную в середине элемента. На грани АВСD, площадь которой есть S*dl_m, действует напряжение s_t. Таким образом, сила, действующая на указанной грани, равна

.                         (3.1.1)

Эта сила составляет с осью Y угол, равный , и направлена в противоположную оси Y сторону, поэтому ее проекция на нормаль равна -.

Рассматривая совершенно аналогичные силы, действующие на грани АС и ВD, найдем, что проекция каждой из них на нормаль равна

              (3.1.2)

Наконец, составляющая внешней силы, направленная вдоль оси Y (по нормали), равна

.                       (3.1.3)

Находя сумму проекций на нормаль всех действующих на элемент сил и приравнивая эту сумму нулю, получим

,               (3.1.4)

или, если вместо Т, U и P^’ подставить из (3.1.1) значения, выраженные через напряжения и внешнюю нагрузку, уравнение (3.1.4) примет вид

        (3.1.5)

В виду малости углов  и  можно записать, что ,  . Кроме того, используя зависимость между длной дуги и радиусом кривизны, получим  и . Подставляя эти значения в уравнение (3.5), имеем

                   (3.1.6)

Сократив каждый член данного уравнения на , его можно записать следующим образом

,                           (3.1.7)

и окончательно

.                          (3.1.8)

Полученное уравнение носит название уравнение Лапласа.

Одного этого уравнения недостаточно для определения напряжений s_m и s_t, т.е. для нахождения этих напряжений к уравнению (3.1.8) нужно добавить еще одно уравнение.

Для получения второго уравнения отсечем нормальным коническим сечением часть оболочки и отбросим верхнюю часть. Для оставшегося элемента (так называемой зоны оболочки), показанного на рисунке . составим уравнение равновесия всех сил в направлении оси оболочки Х. Площадь А поверхности поперечного сечения элемента есть кольцо. Поэтому

.                         (3.1.9)

На нее действует меридиональная сила U, от которой возникает напряжение

.                       (3.1.10)

Отсюда

.                   (3.1.11)

Кроме этого, на выделенный элемент действует осевая равнодействующая Р’ внешних сил,приложенных к отсеченной части. В качестве внешних сил выступает равномерное внутреннее давление Р. Проектируя все силы на ось Х, получим

,                      (3.1.12)

или

,               (3.1.13)

где a – угол между направлением U и осью Х.

Доказано, что если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления, на заданную ось равна произведению давления Р на площадь проекции поверхности А’ на плоскость, перпендикулярную к заданной оси. Следовательно

.                     (3.1.14)

Таким образом, для того чтобы определить проекцию равнодействующих сил давления на ось Х, нужно предварительно спроектировать поверхность на плоскость, перпендикулярную этой оси и определить ее площадь. Для рассматриваемой зоны проекция ее поверхности на плоскость, перпендикулярную оси Х, представляет собой окружность и площадь, соответственно, равна

.                     (3.1.15)

Тогда

.                 (3.1.16)

Подставляя значение Р’ в уравнение (3.1.13), получим

              (3.1.17)

Преобразуя, имеем

.             (3.1.18)

Это уравнение называется уравнением равновесия зоны или просто уравнением зоны.

Из этого уравнения находится меридиональное напряжение s_m.

Таким образом, по безмоментной теории напряжения s_m и s_t в оболочке определяются из уравнений равновесия.