При расчете
оболочек вращения обычно определяют напряжения от действия внутреннего давления
и толщину стенки. При этом рассматривают бесконечно малый элемент "D”,
выделенный из оболочки двумя меридиональными и двумя кольцевыми сечениями
(рисунок 3.1.6). Рисунок 3.1.6 – Элемент оболочкиrm – радиус кривизны
меридиана; rt – радиус кривизны параллельного круга. Как известно из курса сопротивления материалов, в самом общем случае от
действия внешних нагрузок по каждой из граней могут действовать шесть внутренних
силовых факторов (ВСФ):– продольное (нормальное) усилие
(сила) Nz;– поперечные силы Qx, Qy;– изгибающие Mx, My и крутящий Mz моменты,от которых возникают нормальные s (от Mx, My, Nz) и касательные t (от Qx, Qy, Mz) напряжения. На рисунке 3.1.7 показаны внутренние
силовые факторы только по одному из сечений – меридиональному, аналогично можно
было бы изобразить внутренние силовые факторы и по остальным трем граням.Какие
внутренние силовые факторы возникают в оболочке под действием внутреннего
давления Рвнутр?Для решения этой задачи
рассмотрим пример – воздушный шарик, находящийся под действием газового
давления. Рисунок 3.1.7 – Внутренние силовые факторы, действующие на выделенныйэлемент
оболочкиT, U–
тангенциальные и меридиональные растягивающие усилия;Mt, Mm – тангенциальный и меридиональный изгибающий
моменты;P –
усилие от давления.Изобразим
деформации стенки сферы (рисунке 3.1.8).
Рисунок
3.1.8 – Деформации сферической оболочки
Допустим,
надули шарик до давления P1 и он принял
определенный размер, характеризующийся длиной окружности поперечного сечения.Надуваем
шарик до давления P2 > Р1, размеры шарика
увеличиваются и, соответственно, изменяются размеры дуги AB.Совместим эти дуги до деформации и после (рисунок 3.1.9). Рисунок 3.1.9 – Схема совмещения
дуг AB и A’B’ Из рисунка
видно, что дуги не совпадут, так как, во-первых, одна дуга длиннее другой, т.е.
на нее должны действовать растягивающие усилия, в данном случае тангенциальные
– T , а во-вторых, различна их кривизна.Изменить
свою кривизну дуга может только под действием изгибающих моментов. Для
рассматриваемого случая это – Мt.Если шарик
повернуть на 90°, то параллельный круг
превратится в меридиан.Для дуги BD
будут происходить аналогичные изменения, т.е. на эту дугу будут действовать
меридиональные растягивающие усилия U и меридиональный изгибающий
момент Mm (рис.унок 3.1.10).Таким
образом, в оболочках под действием внутреннего давления возникают усилия U и T и
изгибающие моменты Мt, Мm.Рисунок 3.1.10 – Схема совмещения дуг BD и B’D’ Доказано,
что в случае, когда вдоль меридиана не будет резких изменений внешней нагрузки,
толщины оболочки и ее радиусов кривизны, то можно принять, что оболочка не
подвергается изгибу, т.е. изгибающие моменты и поперечная сила равны нулю (Мx = Мy = Оy = 0), благодаря же симметрии
формы и нагрузки оболочки действие крутящих моментов Мz и поперечной силы Оx на всех гранях
исключено и тогда касательные напряжения отсутствуют.Таким
образом, по граням действуют только нормальные усилия N; будем называть их
соответственно меридиональными и обозначать N = U (по меридиональным сечениям
АВ и СД) и тангенциальными (кольцевыми) N = Т (по граням АС и ВД). От них
возникают нормальные напряжения, соответственно - меридиональные sm и тангенциальные st (рисунок 3.1.11). Рисунок 3.1.11 – Напряженное
состояние и эпюры распределения тангенциальных напряжений по толщине стенкиКроме этого
на грань АВСД действует внешняя нагрузка Р. (В данном примере это внутренне
избыточное давление). От этой нагрузки возникает, так называемое, радиальное
напряжение, направленное вдоль радиуса оболочки и равное по величине давлению,
т. е. sr = Р. Так как для тонкостенных оболочек давление обычно меньше 10 МПа,
то радиальное напряжение также не больше этого значения, и соответственно,
значительно меньше допускаемых напряжений. Поэтому для тонкостенных оболочек
обычно пренебрегают величиной радиальных напряжений и принимают их равными
нулю.При расчете
тонкостенных оболочек считают, что кольцевые и меридиональные напряжения
постоянны по толщине оболочки, т.е. пренебрегают их изменением (рисунок 3.1.11),
как это наблюдается для толстостенных аппаратов.Таким
образом, можно принять, что напряженное состояние тонкостенных оболочек –
плоское (двухосное).Основанная на этих предположениях теория, не учитывающая действие
изгибающих моментов, а принимающая во внимание только продольные силы U и Т, называетсябезмоментной
илимембранной теорией расчета оболочек, в отличие отмоментной
теории.
|