§ 2. Дифференциальное уравнение свободных затухающих электромагнитных колебаний

В реальном контуре имеют место следующие потери энергии:

1) тепловые потери, так как ;

2) потери в диэлектрике конденсатора;

3) гистерезисные потери в сердечнике катушки;

4) потери на излучение и др.

Уравнение колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на ёмкости, индуктивности и активном сопротивлении должна быть равна нулю:

 .                                                                                                      (8.7)

Разделив это выражение на L и заменив I через , а  через , получим

 .                                                                                                 (8.8)

Беря во внимание, что  равно квадрату собственной частоты контура w₀, вводим обозначение: , после этого уравнение принимает вид

 .                                                                                                 (8.9)

При условии, что , т. е. , уравнения имеет вид

 ,                                                                                             (8.10)

где . Подставив значение для w₀ и для b, находим w:

 .                                                                                                         (8.11)

Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты w₀. Разделив выражение (8.10) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе:

 .                                                                            (8.11)

 Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону , где А₀ – начальная амплитуда. Зависимость амплитуды показана на рис. 8.3.

Рис. 8.3. График затухающих колебаний

Промежуток времени , в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации. Если А(t) и А(t + Т) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

                                                                                                        (8.12)

называется декрементом затухания, а его логарифм –

                                                                                              (8.13)

логарифмическим декрементом затухания; N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз. Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности, которая при малых значениях логарифмического декремента равна:

 .                                                                                                (8.14)

§ 3. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение

Если рассматривать колебательный контур, то для получения вынужденных колебаний (рис. 8.4), нужно включить последовательно с элементами контура переменную эдс или, разорвав контур, подать напряжение:

Рис. 8.4. Вынужденные колебания в колебательном контуре

U = U_mcosw, тогда уравнение будет иметь вид:

 ,                                                                                                           (8.15)

после замены получим

 .                                                                                     (8.16)

Решение полученного неоднородного дифференциального уравнения находим прибавлением к его частному решению общего решения соответствующего однородного уравнения. Частное решение имеет вид

,

где .

Подставив в эти выражения значения , получим:

 .                                                                                            (8.17)

 Разделив заряд на емкость, получим напряжение на конденсаторе:

,

где . Установившийся ток в контуре . Амплитуда тока имеет вид

 .                                                                                     (8.18)

Резонансная частота для контура

 .                                                                           (8.19)

Резонансные кривые для U_C и тока I имеют такой вид, как показано на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Явление резонанса напряжений и токов в колебательном контуре: кривые 1, 2, 3 соответствуют всё бóльшему активному сопротивлению контура

При  резонансные кривые стремятся к U_m – напряжению, возникающему на конденсаторе при подключению его к источнику постоянного напряжения. Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше , т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. Тогда амплитуда силы тока имеет максимальное значение при . Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура .

Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения последовательно с элементами колебательного контура. Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей, настроив контур на одну из частот  и т. д. (т. е., подобрав соответствующим образом его параметры С и L, можно получить на конденсаторе напряжение, в несколько раз превышающее величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс имеет место, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.

§ 4. Автоколебания

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с её колебаниями). Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины и все ламповые генераторы (электронная лампа и «катушка обратной связи» позволяют аккумуляторной батарее поддерживать колебания в контуре).

§ 5. Параметрические колебания

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити,  на которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Параметрический резонанс – явление, возникающее вследствие периодического изменения какого-либо параметра системы в такт с колебаниями.

На явлении параметрического резонанса основаны генерация и усиление электромагнитных колебаний. Генерация и усиление колебаний происходит за счет работы, совершаемой внешними источниками при периодическом изменении во времени реактивных параметров колебательной системы (емкость C и индуктивность L).  Простейший параметрический генератор представляет собой колебательный контур, в котором С или L меняются периодически около некоторых средних значений С₀ и L₀ с частотой , где  – частота собственных колебаний контура с постоянными параметрами. В результате мощность Р_вых, выделяемая на нагрузке, может превышать входную мощность сигнала Р_вх, поступающую в контур. Это позволяет использовать контур как усилитель с коэффициентом усиления: . Когда усиление неограниченно растет, усилитель превращается в генератор.

Возможность создания параметрических генераторов и усилителей электромагнитных колебаний была выявлена в 1931–1933 г. Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси. Они разработали параметрические машины (ёмкостные и индуктивные), преобразующие механическую энергию в электрическую за счет изменений С и L механическим способом (при вращении вала), приводящих к параметрической генерации. Однако практическое применение параметрические устройства получили, начиная с 50-х гг., когда появились полупроводниковые параметрические диоды, ёмкость которых зависит от приложенного запирающего напряжения, и были изучены свойства сегнетоэлектриков (конденсатор с сегнетоэлектриком позволяет получить переменную ёмкость), а также ферритов и сверхпроводников (на основе которых может быть создана переменная индуктивность).

Примером параметрического генератора является параметрон. Простейший параметрон «запоминает» фазу поступающего на него сигнала в двоичном коде и может быть использован в качестве элемента вычислительных устройств. Кроме того, параметрические генераторы могут использоваться как делители частоты.

В высокочувствительных приемных устройствах СВЧ-диапазона, используемых в системах радиолокации, радиоастрономии, космической связи, применяются двухконтурные параметрические усилители, обладающие низким уровнем собственных шумов.

Параметрические системы применяются также для умножения и смешивания частот. Иногда применяются параметрические усилители бегущей волны в виде цепочки резонаторов с параметрическими диодами, по которой распространяется сигнал. При надлежащей настройке резонаторов можно получить усиление в широкой полосе частот.

Существуют также электронно-лучевые параметрические усилители, в которых усиление сигнала достигается модуляцией электронного пучка.

В оптическом диапазоне частот для создания параметрических генераторов и усилителей используются среды, параметры которых изменяются полем бегущей или стоячей волны.