§ 2. Дифференциальное уравнение свободных затухающих электромагнитных
колебаний
В реальном контуре имеют
место следующие потери энергии:
1) тепловые потери, так
как ;
2) потери в диэлектрике
конденсатора;
3) гистерезисные потери
в сердечнике катушки;
4) потери на излучение и
др.
Уравнение колебаний
можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на ёмкости,
индуктивности и активном сопротивлении должна быть равна нулю:
. (8.7)
Разделив это выражение
на L и заменив I через , а через , получим
. (8.8)
Беря во внимание, что равно квадрату
собственной частоты контура
w0, вводим обозначение: , после этого уравнение принимает вид
. (8.9)
При
условии, что , т. е. , уравнения имеет вид
, (8.10)
где . Подставив значение для
w0 и для
b,
находим
w:
. (8.11)
Таким образом, частота
затухающих колебаний меньше собственной частоты
w0. Разделив выражение (8.10) на
емкость С, получим напряжение на
конденсаторе:
.
(8.11)
Амплитуда
затухающих колебаний изменяется по закону , где А0
– начальная амплитуда. Зависимость амплитуды показана на рис. 8.3.

Рис. 8.3. График затухающих колебаний
Промежуток времени , в течение которого амплитуда уменьшается в e раз, называется временем релаксации. Если А(t) и А(t + Т) – амплитуды двух последовательных
колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
(8.12)
называется декрементом затухания, а его логарифм –
(8.13)
логарифмическим декрементом затухания; N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения
амплитуды в e раз. Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности, которая при малых значениях
логарифмического декремента равна:
. (8.14)
§ 3. Дифференциальное
уравнение
вынужденных электромагнитных колебаний и
его решение
Если рассматривать
колебательный контур, то для получения вынужденных колебаний (рис. 8.4), нужно
включить последовательно с элементами контура переменную эдс или, разорвав
контур, подать напряжение:

Рис. 8.4. Вынужденные колебания в колебательном контуре
U = Umcosw, тогда уравнение будет иметь вид:
, (8.15)
после замены получим
.
(8.16)
Решение полученного неоднородного
дифференциального уравнения находим прибавлением к его частному решению общего
решения соответствующего однородного уравнения. Частное решение имеет вид
,
где .
Подставив в эти выражения значения , получим:
. (8.17)
Разделив заряд на емкость,
получим напряжение на конденсаторе:
,
где . Установившийся ток в контуре . Амплитуда тока имеет вид
.
(8.18)
Резонансная частота для
контура
 . (8.19)
Резонансные кривые для UC и тока I имеют
такой вид, как показано на рис. 8.5.

Рис. 8.5.
Явление резонанса напряжений и токов в колебательном контуре: кривые 1, 2, 3
соответствуют всё бóльшему активному сопротивлению контура
При резонансные кривые
стремятся к Um – напряжению, возникающему на
конденсаторе при подключению его к источнику постоянного напряжения. Максимум
при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше , т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность
контура. Тогда амплитуда силы тока имеет максимальное значение при . Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает
с собственной частотой контура .
Мы рассмотрели
вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения
последовательно с элементами колебательного контура. Явление резонанса
используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей, настроив
контур на одну из частот и т. д. (т. е.,
подобрав соответствующим образом его параметры С и L, можно получить на конденсаторе напряжение, в несколько раз превышающее
величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на
конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс имеет место,
например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны.
§ 4. Автоколебания
Автоколебания принципиально
отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил,
а также от вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической
силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая
согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент
времени (в такт с её колебаниями). Примером автоколебательной системы могут
служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями.
Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся
пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых
инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний,
поддерживаемых воздушной струей. Автоколебательными системами являются также
двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины и все ламповые генераторы
(электронная лампа и «катушка обратной связи» позволяют аккумуляторной батарее
поддерживать колебания в контуре).
§ 5. Параметрические колебания
При параметрических колебаниях за
счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо
параметра системы, например длины нити,
на которой подвешен шарик, совершающий колебания.
Параметрический
резонанс – явление, возникающее вследствие периодического изменения какого-либо
параметра системы в такт с колебаниями.
На явлении параметрического
резонанса основаны генерация и усиление электромагнитных колебаний. Генерация и
усиление колебаний происходит за счет работы, совершаемой внешними источниками
при периодическом изменении во времени реактивных параметров колебательной
системы (емкость C и индуктивность L). Простейший
параметрический генератор представляет собой колебательный контур, в котором С или L меняются
периодически около некоторых средних значений С0 и L0 с частотой , где – частота собственных
колебаний контура с постоянными параметрами. В результате мощность Рвых,
выделяемая на нагрузке, может превышать входную мощность сигнала Рвх,
поступающую в контур. Это позволяет использовать контур как усилитель с коэффициентом
усиления: . Когда усиление неограниченно растет, усилитель превращается
в генератор.
Возможность
создания параметрических генераторов и усилителей электромагнитных колебаний
была выявлена в 1931–1933 г. Л.И. Мандельштамом и Н.Д. Папалекси. Они
разработали параметрические машины (ёмкостные и индуктивные), преобразующие
механическую энергию в электрическую за счет изменений С и L механическим способом (при вращении вала), приводящих к параметрической
генерации. Однако практическое применение параметрические устройства получили,
начиная с 50-х гг., когда появились полупроводниковые параметрические диоды,
ёмкость которых зависит от приложенного запирающего напряжения, и были изучены
свойства сегнетоэлектриков (конденсатор с сегнетоэлектриком позволяет получить
переменную ёмкость), а также ферритов и сверхпроводников (на основе которых
может быть создана переменная индуктивность).
Примером параметрического генератора
является параметрон. Простейший параметрон «запоминает» фазу поступающего на
него сигнала в двоичном коде и может быть использован в качестве элемента
вычислительных устройств. Кроме того, параметрические генераторы могут использоваться
как делители частоты.
В высокочувствительных приемных
устройствах СВЧ-диапазона, используемых в системах радиолокации,
радиоастрономии, космической связи, применяются двухконтурные параметрические
усилители, обладающие низким уровнем собственных шумов.
Параметрические системы применяются
также для умножения и смешивания частот. Иногда применяются параметрические
усилители бегущей волны в виде цепочки резонаторов с параметрическими диодами,
по которой распространяется сигнал. При надлежащей настройке резонаторов можно
получить усиление в широкой полосе частот.
Существуют также электронно-лучевые
параметрические усилители, в которых усиление сигнала достигается модуляцией
электронного пучка.
В оптическом диапазоне
частот для создания параметрических генераторов и усилителей используются
среды, параметры которых изменяются полем бегущей или стоячей волны.
|